魔蝎小说

01 基本原理 Fundamentals（第3页）

对于如何使用概率，我们没有重大的分歧，但是我们曾经讨论过的三种方法的信徒们可能会从不同的角度分别论述它们的价值。每一个观点都有其用途。为了理解这门学科的运作方式，无论从哪个思路我们都要探寻适当的观点。

客观方法被限制于有限多个结果的情况，所有的这些结果都被判断为等可能的。但是没有硬币或者色子是完美地对称的，基于什么我们可以把这些不完美当作无关紧要的元素而不去考虑它们呢？甚至于我们能否确定可能结果的数量呢？例如假设我们有一个装有两个球的罐子，这两个球要么均为白色，要么均为黑色，要么一白一黑。我们是否可以说有3种等可能的情况，或者球在按顺序被置入的时候，实际上是白白、白黑、黑白或者黑黑这4种等可能情况？持不同看法的人会对两个球均为黑球的概率给出不同的答案。或者假设你到达了一条分出三条岔路的路口，两条路通往新城，第三条路通往海港，做一个“随机选择”：你去往海港的概率是13（三个出口中的一个）还是12（两个目的地中的一个）？

一个频率论者希望处理可重复试验，它在完全相同的情况下能够不限次数地进行。试验结果的数量不需要是有限的——想想掷同一枚硬币直到正面连续出现3次，或者在一根棍子上取一个随机的点。但是，无论我们多么小心，试验环境都不会保持绝对一致，而且任何极限值都只能做估计。怎样描述这种估计中的误差？宣称误差在2%以下的概率是99%，就会引入循环论证——我们需要知道概率是多少，以便定义它!

一个国家入侵另一个国家的概率，或者特定的一次心脏移植成功的概率，这类问题中的情形只出现一次，而且备选结果不能被减少为有限列表中的等可能的结果。客观和频率方法对这些事件都无能为力。这就需要主观概率了。

主观主义者必须确保她相信的事情都是自洽的。例如，在英国国家彩票[8]中，一个机器从列表{1，2，3，…，49}中选取6个数字，苏西也许会倾向于认为约1400万种选择均是等可能的。那么，当问到下面哪一个更有可能的时候：

（a）抽取的数字中没有超过44的；

（b）那些抽取到的数字中不包括连续数字。

她或许会在想了一会儿之后选择二者中的某一个。但是只要她选择了这些事件中的任何一个，她都会因为自己的观点不能自洽而愧疚，因为合理的计算显示这两个事件发生的可能性正好是相等的!对于这种不自洽性，主观概率方法仅仅要求它被解决，但是并未给出确切的解决方式。

因为相比具有有限多种等可能选择的情形，我们希望考虑更宽泛的情况，在考虑不能不限次数地重复试验的情况时，我们将主观概率方法作为默认选项。而且一旦有客观或者频率方法的支持，我们将会更加坚信我们的观点。

解读

借用“袋子中的球”的视角，一些事件的概率被当作是袋子中红色球的比例。所以仅当袋子中没有红色球的时候，概率的值才是0。在这种情况下，这个事件永远不会发生。类似地，概率为单位1对应着每一个球都是红色，所以这种情况下这个事件每次都会发生。只有0和单位1这些值，才可能确凿地被试验证据证明是错误的：如果事件发生了，它的概率就不可能是0；当它没有发生，它的概率就不可能是单位1。而且这从频率或者主观方法来说也是对的。假设概率是某些中间值，比如说34。

我们首先来处理一个十分细致的问题。无论一个轮盘赌轮被设计得多么好，从本质上讲所有标着数字的格子被转到的概率精确相同是不可能的。赌场需要的是这些概率足够接近理想情况，以至于不大可能分辨出任何数字的概率比其他数字更多或者更少。类似的说法也适用于色子、硬币和纸牌。所以类似于“概率是34”的说法，意味着对于所有实际目的来说概率都足够接近34。否则，一个书呆子就会沾沾自喜地告诉你，他知道概率不是34，并且不害怕引起争执。

在可重复试验的背景下，我们期望从这个断言中得到什么信息呢，“得到红球的概率是34”？值得强调的是，我们并不会期望如果进行4次这个试验（每次取球之后放回），我们会精确地在其中3次抽到红球。可能的情况是，4次重复试验根本没抽到红球，或者甚至每次都是红球。但是在一系列漫长的重复之后，我们的确期望红球出现的频率接近34。

漫长的重复试验有多长，或者结果需要多么接近34？没有一个确定的、非黑即白的答案。如果在前40次重复试验中，我们只有20次抽到红球，我会强烈质疑概率是34的断言，但是如果接下来的40次中得到28次红球的结果，那些质疑就会被削弱。相信或者不相信这个断言可能会在相当长的一段时间内是临时立场。假设试验条件的确一直保持不变，我们使用所有收集到的数据来做决定——试验次数过少会引起误导。

稍后我会提供一些准则，并且证明它们。我们以重复100次试验为例，假设概率是一个中间值，接近一半。计算这个数字与由数据得到的真实频率的差值：如果这个差值超过0。1，我会对这个断言产生一些怀疑；如果差值超过0。15，我会产生强烈质疑。在重复试验1000次而不是100次后，我期望结果有更强的一致性，所以用0。03和0。05代替原来的数字。如果假想的数字接近0或者单位1，比如说10%或者90%，我也会期望更强的一致性。在重复试验的基础上，特定的概率更容易让人信服，而不是某个所谓的值。

对于一个主观评估，例如明天降雨的概率是60%，情况是怎样的呢？我们不能数百次地再现今天的天气情况，然后检查降雨是有多频繁。这种“试验”只能够进行一次。但是我们也许可以通过检查这个数字产生的过程来检验这个断言。天气预报员使用天气规律的模型来得到他们的结论，即使他们的电脑屏幕上的数字是31。067%，他们也会聪明地给出大约的数字，你会听到“降雨的概率是30%”。所以现在你就能收集不同日期的数据，看看经验证据——在去年给出降水概率为30%的83天中，有多少天真的下雨了？只要那个比例合理地接近于30%，你对这个方法的信心就会增强，所以接受对“明天”的降雨概率就是个理性回应了。

概率是在不确定情况下做决定的关键。如果你真诚地相信特定的一件事或者一个论断的概率是单位1，那么你应该按照它无疑会发生一样来行事；如果你真诚地相信概率是0，那么就按照它好像绝不会发生一样来行事。

如果你认为概率是从0到1之间的某个值，那么就按照你预期它会发生的比例来行事。例如，如果你的判断是概率为60%，想象你会面临这样的情况100次，在60次中（但是你不知道是哪60次）这个事件会发生，而在40次中不会发生。努力理解，考虑到这种权衡，决定你的行动。如果你猜测概率是80%，说明你预期这个事件会更频繁地发生，你的行动可能就会不同。

就像大主教约瑟夫·巴特勒（BishopJosephButler）1736年在他的《宗教的类比》（Analion）中写的那样：“对于我们来说，概率正是生活的准则。”

[1]　诺曼底登陆（TheD-DayInvasionofNormandy）是第二次世界大战时西方盟军在欧洲西线战场发起的一场大规模攻势，为“霸王行动”的一部分。

[2]　这四种牌面都算作10点，原文为“ten-card”。

[3]　塔中王子（thePriheTower），指英格兰国王爱德华四世（EdwardIV）的两个儿子：爱德华五世（EdwardV）和约克公爵（DukeofYork）。他们被理查三世关进伦敦塔之后失踪。

[4]　原文为：“Ithinkitisimpossibleforsomeoyyearsofagetorize。”本书成书于2014年马拉拉·优素福·扎伊获得诺贝尔和平奖之前，经与原书作者JohnHaigh沟通，此处添加“诺贝尔物理学奖”的限定。

[5]　温布尔登网球锦标赛（Theships，Wimbledon），网球运动中历史最长和最具声望的公开赛之一。

[6]　《星际迷航》（StarTrek），美国系列科幻娱乐影视剧。

[7]　指约克郡，白玫瑰为其与约克王朝的共同象征。理查三世为约克王朝最后一任国王。

[8]　英国国家特许经营的彩票，开始于1994年。